Final Fantasy VII Hardcore (PSX o PC) resubido

Tras unos 5 años todavía hay fans que quieren disfrutar del modo difícil que hice de FFVII(ver aquí). Por esta razón y debido al cierre de megaupload he resubido el juego en mega. Como dije hace años, el cambio sustancial radica en la mayor dificultad de las batallas principales y la experiencia recibida, manteniendo intacta la esencia argumental y otros detalles como el apartado gráfico y sonoro.

Puede jugarse en una PSX incluso usando las partidas guardadas del juego original o en un emulador. Según un tutorial que expuse hace tiempo también puede jugarse en la versión de PC. Si alguien tiene interés puedo explicar la manera de hacerlo.

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EDO lineal: Circuito RLC serie en corriente continua(2ª parte)

En este segundo apartado(el primero era aquí) se explicará otro procedimiento para resolver la EDO que puede utilizar un lector poco familiarizado con el cálculo diferencial y el integral. Es el método de la transformada de Laplace unilateral.
Para empezar definiré dicha transformación:



No hay porque resolver la integral para cada caso ya que las transformadas de Laplace de la mayoría de funciones vienen tabuladas en libros y en la wikipedia.
Lo que se hace es una especie de cambio de variable. Cambiamos el tiempo por una frecuencia(que es un número complejo en general) que llamaremos s. La transformada de la intensidad será F(s). La transformada de las derivadas sucesivas de la intensidad está tabulada o se puede deducir integrando por partes.



Como puede verse, al hacer la transformada de las derivadas aparecen las condiciones iniciales que debemos sustituir al transformar la ecuación entera.



La ecuación(que estaba en el dominio del tiempo) en el dominio de la frecuencia s queda como:



Esta ecuación es algebraica y sencilla de resolver. Basta despejar F(s).



Esta ecuación tiene un significado muy importante. Si la tensión constante de la fuente la sustituimos por una señal de entrada cualquiera, V(s), en la ecuación inicial y la intensidad fuese la señal de salida tendríamos un caso general.
El cociente entre la salida y la entrada se llama función de transferencia, H(s), y nos da la salida en función de la entrada para todas las frecuencias que forman la señal de entrada. El circuito visto así es una especie de amplificador de transconductancia. Aquí se muestra la función de transferencia de la entrada general.



Si lo que tuviesemos es un oscilador armónico que sufre amortiguación, la función de transferencia sería del mismo tipo siendo la entrada la fuerza que produce la oscilación y la salida el alargamiento. Ambas en dominio de la frecuencia claro está. Si representamos la función de transferencia en función del logaritmo de la frecuencia tenemos lo que se llama diagramas de Bode. Esta representación nos muestra la respuesta en frecuencia de un sistema. Por ejemplo, un buen amplificador muchas veces debe de amplificar por igual todas las frecuencias que recibe juntas para evitar distorsiones. Con el diagrama de Bode vemos para que frecuencias nos sería útil dicho amplificador.

Ahora hay que volver al dominio del tiempo haciendo la transformada inversa. Esta transformada inversa depende de si las raíces del denominador(polos) son reales, complejas o coinciden. Volvemos a tener los 3 casos de antes. Las transformadas inversas que hay que hacer son estas donde u es la función de Heaviside(función del Jebi para los amigos xD) que es 0 a tiempos menores que cero y es 1 si el tiempo es mayor que cero:



Haciendo las cuentas(que las recomiendo para los que se han iniciado hace poco) se obtienen estas soluciones que coinciden con la otra manera de resolverlo. Son respectivamente para el caso subamortiguado, sobreamortiguado y amortiguamiento crítico(gamma y omega son los de la primera parte).



Ante cualquier duda o error se agradece el interés.

Expuesto este método de resolución queda ver el significado físico de los 3 casos posibles de soluciones. Será objeto de una tercera parte.

EDO lineal: Circuito RLC serie en corriente continua(1ª parte)

En esta entrada se muestra un ejemplo de resolución de una EDO lineal de coef. constantes. Normalmente aquí el ejemplo clásico suele ser resolver la segunda ley de Newton pero he preferido citar un ejemplo un poco menos típico pero también muy usual: La resolución de la ley de mallas de Kirchhoff.
Esta ley la aplicamos en un circuito RLC serie de corriente continua que contiene elementos pasivos: una resistencia, una autoinducción y un condensador. La fuente será una tensión constante.



La suma algebraica de tensiones ha de ser nula.
Para hacer el balance energético o de tensiones se emplea la ley de Ohm, la ley de Faraday y la relación de carga y tensión de los conductores(condensador).
El condensador, la bobina y la resistencia se oponen a la fuente como puede verse en los signos del dibujo
por lo que en el balance llevarán signo opuesto a la fuente. Si lo ponemos todo en función de la intensidad queda:



Podemos derivar esta ecuación y nos queda la EDO lineal que se va a resolver:



Calculamos las raíces del polinomio característico. Por comodidad usamos gamma y omega. Omega hace referencia a la frecuencia de ciertas oscilaciones y gamma hace referencia a la amortiguación de dichas oscilaciones.



La solución general por tanto será:



Debemos imponer 2 condiciones iniciales lógicas para calcular las constantes A y B.
La primera que la corriente es nula a tiempo nulo I(0)=0. La segunda puede ser cualquiera de estas 2, que son equivalentes:
a) Que a tiempo infinito la tensión de la fuente es la caída de tensión en el condensador.

b) que a tiempo nulo la tensión de la fuente es la caída en la bobina.



La solución también será muy distinta de si esa raíz es un imaginaria, cero o mayor que cero.
Así que tenemos 3 casos posibles de soluciones.

1) Raíz imaginaria. Caso subamortiguado.
La solución sería de la siguiente forma si aplicamos las condiciones iniciales:



Podemos ver amortiguaciones(dadas por el seno) de una frecuencia cercana a omega y que se atenúan con el factor de la exponencial negativa.

2) Raíz nula(gamma=omega) Amortiguamiento crítico:




En este caso no hay amortiguaciones.

3) Raíz positiva(gamma>omega) Caso sobreamortiguado:



En este último caso tampoco hay oscilaciones sino una caída exponencial menos acusada con el seno hiperbólico.

Dejo propuestos los pasos matemáticos intermedios para el lector.
Ante cualquier duda o error pueden dejar su mensaje.