EDO lineal: Circuito RLC serie en corriente continua(2ª parte)

En este segundo apartado(el primero era aquí) se explicará otro procedimiento para resolver la EDO que puede utilizar un lector poco familiarizado con el cálculo diferencial y el integral. Es el método de la transformada de Laplace unilateral.
Para empezar definiré dicha transformación:



No hay porque resolver la integral para cada caso ya que las transformadas de Laplace de la mayoría de funciones vienen tabuladas en libros y en la wikipedia.
Lo que se hace es una especie de cambio de variable. Cambiamos el tiempo por una frecuencia(que es un número complejo en general) que llamaremos s. La transformada de la intensidad será F(s). La transformada de las derivadas sucesivas de la intensidad está tabulada o se puede deducir integrando por partes.



Como puede verse, al hacer la transformada de las derivadas aparecen las condiciones iniciales que debemos sustituir al transformar la ecuación entera.



La ecuación(que estaba en el dominio del tiempo) en el dominio de la frecuencia s queda como:



Esta ecuación es algebraica y sencilla de resolver. Basta despejar F(s).



Esta ecuación tiene un significado muy importante. Si la tensión constante de la fuente la sustituimos por una señal de entrada cualquiera, V(s), en la ecuación inicial y la intensidad fuese la señal de salida tendríamos un caso general.
El cociente entre la salida y la entrada se llama función de transferencia, H(s), y nos da la salida en función de la entrada para todas las frecuencias que forman la señal de entrada. El circuito visto así es una especie de amplificador de transconductancia. Aquí se muestra la función de transferencia de la entrada general.



Si lo que tuviesemos es un oscilador armónico que sufre amortiguación, la función de transferencia sería del mismo tipo siendo la entrada la fuerza que produce la oscilación y la salida el alargamiento. Ambas en dominio de la frecuencia claro está. Si representamos la función de transferencia en función del logaritmo de la frecuencia tenemos lo que se llama diagramas de Bode. Esta representación nos muestra la respuesta en frecuencia de un sistema. Por ejemplo, un buen amplificador muchas veces debe de amplificar por igual todas las frecuencias que recibe juntas para evitar distorsiones. Con el diagrama de Bode vemos para que frecuencias nos sería útil dicho amplificador.

Ahora hay que volver al dominio del tiempo haciendo la transformada inversa. Esta transformada inversa depende de si las raíces del denominador(polos) son reales, complejas o coinciden. Volvemos a tener los 3 casos de antes. Las transformadas inversas que hay que hacer son estas donde u es la función de Heaviside(función del Jebi para los amigos xD) que es 0 a tiempos menores que cero y es 1 si el tiempo es mayor que cero:



Haciendo las cuentas(que las recomiendo para los que se han iniciado hace poco) se obtienen estas soluciones que coinciden con la otra manera de resolverlo. Son respectivamente para el caso subamortiguado, sobreamortiguado y amortiguamiento crítico(gamma y omega son los de la primera parte).



Ante cualquier duda o error se agradece el interés.

Expuesto este método de resolución queda ver el significado físico de los 3 casos posibles de soluciones. Será objeto de una tercera parte.