EDO lineal: Circuito RLC serie en corriente continua(1ª parte)

En esta entrada se muestra un ejemplo de resolución de una EDO lineal de coef. constantes. Normalmente aquí el ejemplo clásico suele ser resolver la segunda ley de Newton pero he preferido citar un ejemplo un poco menos típico pero también muy usual: La resolución de la ley de mallas de Kirchhoff.
Esta ley la aplicamos en un circuito RLC serie de corriente continua que contiene elementos pasivos: una resistencia, una autoinducción y un condensador. La fuente será una tensión constante.



La suma algebraica de tensiones ha de ser nula.
Para hacer el balance energético o de tensiones se emplea la ley de Ohm, la ley de Faraday y la relación de carga y tensión de los conductores(condensador).
El condensador, la bobina y la resistencia se oponen a la fuente como puede verse en los signos del dibujo
por lo que en el balance llevarán signo opuesto a la fuente. Si lo ponemos todo en función de la intensidad queda:



Podemos derivar esta ecuación y nos queda la EDO lineal que se va a resolver:



Calculamos las raíces del polinomio característico. Por comodidad usamos gamma y omega. Omega hace referencia a la frecuencia de ciertas oscilaciones y gamma hace referencia a la amortiguación de dichas oscilaciones.



La solución general por tanto será:



Debemos imponer 2 condiciones iniciales lógicas para calcular las constantes A y B.
La primera que la corriente es nula a tiempo nulo I(0)=0. La segunda puede ser cualquiera de estas 2, que son equivalentes:
a) Que a tiempo infinito la tensión de la fuente es la caída de tensión en el condensador.

b) que a tiempo nulo la tensión de la fuente es la caída en la bobina.



La solución también será muy distinta de si esa raíz es un imaginaria, cero o mayor que cero.
Así que tenemos 3 casos posibles de soluciones.

1) Raíz imaginaria. Caso subamortiguado.
La solución sería de la siguiente forma si aplicamos las condiciones iniciales:



Podemos ver amortiguaciones(dadas por el seno) de una frecuencia cercana a omega y que se atenúan con el factor de la exponencial negativa.

2) Raíz nula(gamma=omega) Amortiguamiento crítico:




En este caso no hay amortiguaciones.

3) Raíz positiva(gamma>omega) Caso sobreamortiguado:



En este último caso tampoco hay oscilaciones sino una caída exponencial menos acusada con el seno hiperbólico.

Dejo propuestos los pasos matemáticos intermedios para el lector.
Ante cualquier duda o error pueden dejar su mensaje.