EDO's lineales de coeficientes constantes

En esta entrada se buscará la manera de resolver las EDO's lineales de coeficientes constantes, las cuales son de gran importancia en campos como la ciencia, la ingeniería, la economía...

Debido a la linealidad de la ecuación, la solución general es la solución de la ecuación homogénea más una particular que dependerá de la función b(x) que ocupe el lugar de 0. Por esta razón primero se entra en resolver la ecuación homogénea:



Para ello veremos que la ecuación es equivalente a un sistema de EDO's lineales de primer orden acopladas:



En forma matricial:



La matriz de la aplicación lineal puede intentar diagonalizarse buscando los autovalores y autovectores. Para ello resolvemos el determinante y el polinomio característico. Si uno calcula el determinante verá que el polinomio es el siguiente:



Si los autovectores correspondientes a los autovalores tienen la dimensión del espacio total la matriz será diagonalizable. Eso ocurre si todos los autovalores son distintos. En caso contrario si uno calcula el subespacio propio de un autovalor de multiplicidad mayor que 1 verá que es de dimensión 1 y que por tanto el número de autovectores no es la dimensión del espacio total. El caso general en lugar de ser una matriz diagonal sería una matriz de Jordan buscando la base apropiada:



Si reescribimos el sistema en esa nueva base, la matriz de la aplicación es una matriz de Jordan y aparecerán nuevas incógnitas(v) que son combinación lineal de las iniciales(z) mediante la matriz de cambio de base:



Los autovalores de multiplicidad 1 dan ecuaciones de primer orden desacopladas que pueden resolverse integrando directamente. Los de multiplicidad mayor que 1 dan una ecuación desacoplada que puede resolverse pero otras acopladas que dependen de la solución anterior quedando ecuaciones de primer orden inhomogéneas. Vamos a ver por ejemplo los casos de multiplicidad 1 y 2. Si es 1 se tiene la ecuación siguiente que se puede integrar:



Si es 2 queda una ecuación inhomogénea que se resolvería planteando como solución particular una constante que depende de x, f(x):



Para multiplicidad m tendríamos m soluciones donde la x que multiplica en las soluciones tendría grado de 0 a m-1.

Gracias a la matriz de paso entre las bases de inicio(z) y la final(v) podemos escribir los z iniciales en función de las soluciones(v) como una combinación lineal. Así se obtiene y(x), que era la primera incógnita de las z:



Vemos que hemos encontrado la forma de resolver la ecuación. La receta es tan simple como plantear el polinomio característico(similar a la ecuación pero sustituyendo derivadas de orden i por la lambda de grado i) encontrando los lambda soluciones(autovalores) y escribir la solución como exponenciales acompañadas de constantes.
Si algún autovalor se repite m veces hay que poner la exponencial, luego la misma multiplicada por x, otra por x cuadrado, otra por x cubo...hasta m-1.

Ante cualquier duda en el procedimiento efectuado pueden escribir sus comentarios.

Ecuaciones Diferenciales

Aunque al principio quería hacer algo más práctico como explicar cosillas acerca de osciladores y sistemas de primer y segundo orden creo que será conveniente(debido a los lectores no familiarizados) que dé una introducción general a las Ecuaciones Diferenciales, un tipo de ecuaciones en las cuales la incógnita no es una variable, sino una función de 1 o más variables, como por ejemplo f(x), f(t), f(x,t)...
En dichas ecuaciones aparece la función y sus derivadas con diversos órdenes(derivada primera, segunda...) por lo que despejar no es trivial y muchas veces requiere hacer integrales.
Puede que no tengan solución, que haya sólo una solución, que haya varias o que haya infinitas.
En los siguientes ejemplos puede verse(llamamos f(x)=y(x)):

          

En el primer caso no hay solución debido a la raíz negativa. En el segundo caso sale una raíz negativa sólo válida si y(x)=0 luego esta es la única solución. En el tercer caso hay que integrar para los 2 casos de la raíz y nos salen y(x)=-x+c, y(x)=x+c. Como c puede tomar cualquier valor la solución está formada por 2 familias de rectas con pendientes 1 y -1.
Estos casos son de lo más sencillo, los hay mucho más complicados. Me centraré más en la clasificación que en las formas de resolución aunque tampoco entraré demasiado en los tipos.

- Clasificación atendiendo a las variables:

En primer lugar hay que diferenciar si la función incógnita de las ecuaciones depende de 1 o más variables. Si depende de 1 variable, f(x) o y(x), se llaman Ecuaciones Diferenciales Ordinarias(EDO's).  Si depende de más de 1 variable, f(x,y) o f(x,y,t,z...) como por ejemplo el caso de la temperatura en una región(que depende de las 3 variables xyz del espacio y del tiempo t) las ecuaciones contienen derivadas parciales y se se denominan Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales(EDP's).

-Clasificación atendiendo a la linealidad:

Otra clasificación al margen de la anterior se realiza atendiendo a si las ecuaciones diferenciales son lineales o no. Una función es lineal si cumple lo siguiente:

                     

Donde x1 y x2 son valores de la variable independiente, x.
k y t son números que multiplican a los valores de la variable independiente. Si la función es de varias variables debe ser lineal en todas ellas para ser lineal. Sería lo anterior con x1 y x2 como vectores con varias componentes. El significado de la linealidad es que la variable dependiente, f(x), es proporcional a la independiente, x(Si una se multiplica la otra también) y que al sumar en la variable independiente podemos sumar en la dependiente. La suma de las causas se puede poner como suma de los efectos de cada causa por separado. Esto es lo que se llama principo de superposición y se debe a la linealidad de las ecuaciones diferenciales que rigen el fenómeno.
 
Aquí expongo 2 casos de funciones lineales y otras 2 que no lo son:

                  

Para definir la linealidad de una ecuación diferencial nos basamos en lo anterior. En una ec. diferencial podemos despejar todo a un lado e igualar a cero. Si la función incógnita es z(de que dependa nos da igual) entonces la ecuación diferencial(donde salen z junto a sus derivadas) queda como f(z)=0.
Si ahora planteamos dicha ecuación por la suma de funciones z+w la linealidad se da(con k,t números cualesquiera) si:

                       

De esta manera se produce la división entre ED lineales y ED no lineales. Ambos tipos pueden ser EDO's o EDP's.

-Clasificación atendiendo al orden:

Otra clasificación al margen se hace según el orden de la ecuación. El orden de la ecuación es el orden de la derivada de mayor orden que hay en la ecuación. Pueden ser de primer orden(sólo primera derivada), segundo orden(hay derivada segunda), de orden 3...

Ahora me centraré en las EDO's. Dentro de ellas hay muchos tipos de ecuaciones no lineales que no comentaré. Me centraré en las EDO's lineales. En general tienen esta forma para orden n:


Donde n es el orden de la ecuación, no un exponente. Si b=0 la ecuación se dice que además es homogénea. Si todos los coeficientes son constantes(no dependen de x) se tiene una EDO lineal de coeficientes constantes. Estas ecuaciones en particular tienen un gran interés en muchos campos y aparecen en bastantes situaciones.
Su resolución será objeto de una próxima entrada.