Poema del Sol y la Luna (2ª parte)

Largo fue el tiempo pasado
pese a que nada ha terminado.
Como las vueltas de una espiral
mi Sol y Luna volverán...

La llama tras la puesta poco ardía,
parecía que se extinguía,
pero ingenuo fui al pensar así
pues siempre estuvo ahí.

Ahora su fuego vuelve una vez más
tapando la luz de la oscuridad
ardiendo lo que te extraña al compás
de aquellos luceros de noche.

Dichoso semblante de luz entrante
y un ardor oscilante.
Me deja para el mañana
un futuro envuelto en llamas.

Demostración para ecuaciones de 2º grado

Esto no es una entrada simplemente para enseñar a resolver ecuaciones de 2º grado.
Lo que se hará es demostrar la fórmula que se emplea para resolver dichas ecuaciones.
Una ecuación de 2º grado de forma general tiene 2 raíces(soluciones) complejas y puede escribirse de esta forma siendo esta la solución de la ecuación:

El polinomio de 2º grado siempre puede factorizarse de la forma siguiente:

A y B son las raíces que debemos hallar y poner en función de los coeficientes a, b y c(que suponemos números reales con a distinto de cero).
Por comparación con la fórmula del polinomio sin factorizar se obtienen las siguientes relaciones entre los coeficientes y las raíces:

 De la primera ecuación se obtiene que:

 Podemos poner A y B en función de esta D quedando lo siguiente:

Si sustituimos A y B en función de D en la segunda ecuación y teniendo en cuenta que suma por diferencia es diferencia de cuadrados podemos hallar D:

De esta forma A y B(que son las raíces) quedan en función de los coeficientes y la fórmula que nos da la solución está demostrada:

La demostración no es complicada y no aporta mucho pero puede ayudar a verlo todo con más lógica y a recordar mejor las cosas.
Podéis expresar vuestra opinión en los comentarios y agradezco que se comenten los posibles errores o dudas al respecto.

El Teorema de Pitágoras: Demostración

Todo el mundo alguna vez ha oído hablar de este famoso teorema.
Muchos lo han aplicado hasta la saciedad considerándolo una verdad absoluta pero seguramente no tantos se han preguntado como demostrar que la famosa fórmula es cierta.
Ese es el objetivo de esta entrada.
Primero quiero dejar claro que no es lo mismo demostrar que verificar.

Al verificar partimos de la fórmula y comprobamos que funciona en casos particulares, es decir, para triángulos concretos.
Al demostrar NO partimos de la fórmula. Debemos suponer que es desconocida y a partir de otros conocimientos no basados en ella llegar a la conclusión de que se cumple esa fórmula y no otra que la contradiga.
Las demostraciones pueden hacerse con distintos grados de generalidad.

Ahora paso a exponer una de las muchas posibles demostraciones generales del teorema de Pitágoras.
Esta demostración está basada principalmente en argumentos geométricos y poco más.
La demostración no se me ha ocurrido sino que la leí hace bastante tiempo.
Me gustó debido a su simplicidad.

Para realizarla nos servimos de la siguiente construcción geométrica, un cuadrado dentro de un cuadrado:

Se puede observar que c y b suman d y que, evidentemente, la suma de las áreas del cuadrado interior y de los 4 triángulos(que son iguales si es que el dibujo está bien hecho) debe ser el área del cuadrado grande.
De estas 2 condiciones obtenemos 2 ecuaciones que ligan las 4 longitudes que aparecen en el dibujo.
Aclaro que en la segunda de ellas se emplea la fórmula del área del cuadrado de longitud a y el área de los triángulos(base x altura entre 2):

Ahora se puede sustituir la variable d de la primera ecuación en el d cuadrado que aparece en la segunda:

Desarrollando el cuadrado de la suma y simplificando términos nos queda la relación:

que es la famosa fórmula del teorema de Pitágoras donde a es la hipotenusa y b, c los catetos.
Debo advertir a aquellos no habituados que esta fórmula sólo funciona en triángulos rectángulos, es decir, aquellos que tienen un ángulo recto(90º)o 2 lados perpendiculares entre sí(condición equivalente).

Esta demostración está al alcance incluso para alumnos de ESO debido a su simplicidad en cuestión de cálculo y comprensión.
A quien no le satisfaga esta demostración puede buscar muchas otras en la bibliografía o incluso en webs como wikipedia.
Pueden expresar su opinión en los comentarios. Ante una duda acerca de esto o si ven un posible error pueden comentarlo también.