Ecuaciones Diferenciales

Aunque al principio quería hacer algo más práctico como explicar cosillas acerca de osciladores y sistemas de primer y segundo orden creo que será conveniente(debido a los lectores no familiarizados) que dé una introducción general a las Ecuaciones Diferenciales, un tipo de ecuaciones en las cuales la incógnita no es una variable, sino una función de 1 o más variables, como por ejemplo f(x), f(t), f(x,t)...
En dichas ecuaciones aparece la función y sus derivadas con diversos órdenes(derivada primera, segunda...) por lo que despejar no es trivial y muchas veces requiere hacer integrales.
Puede que no tengan solución, que haya sólo una solución, que haya varias o que haya infinitas.
En los siguientes ejemplos puede verse(llamamos f(x)=y(x)):

          

En el primer caso no hay solución debido a la raíz negativa. En el segundo caso sale una raíz negativa sólo válida si y(x)=0 luego esta es la única solución. En el tercer caso hay que integrar para los 2 casos de la raíz y nos salen y(x)=-x+c, y(x)=x+c. Como c puede tomar cualquier valor la solución está formada por 2 familias de rectas con pendientes 1 y -1.
Estos casos son de lo más sencillo, los hay mucho más complicados. Me centraré más en la clasificación que en las formas de resolución aunque tampoco entraré demasiado en los tipos.

- Clasificación atendiendo a las variables:

En primer lugar hay que diferenciar si la función incógnita de las ecuaciones depende de 1 o más variables. Si depende de 1 variable, f(x) o y(x), se llaman Ecuaciones Diferenciales Ordinarias(EDO's).  Si depende de más de 1 variable, f(x,y) o f(x,y,t,z...) como por ejemplo el caso de la temperatura en una región(que depende de las 3 variables xyz del espacio y del tiempo t) las ecuaciones contienen derivadas parciales y se se denominan Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales(EDP's).

-Clasificación atendiendo a la linealidad:

Otra clasificación al margen de la anterior se realiza atendiendo a si las ecuaciones diferenciales son lineales o no. Una función es lineal si cumple lo siguiente:

                     

Donde x1 y x2 son valores de la variable independiente, x.
k y t son números que multiplican a los valores de la variable independiente. Si la función es de varias variables debe ser lineal en todas ellas para ser lineal. Sería lo anterior con x1 y x2 como vectores con varias componentes. El significado de la linealidad es que la variable dependiente, f(x), es proporcional a la independiente, x(Si una se multiplica la otra también) y que al sumar en la variable independiente podemos sumar en la dependiente. La suma de las causas se puede poner como suma de los efectos de cada causa por separado. Esto es lo que se llama principo de superposición y se debe a la linealidad de las ecuaciones diferenciales que rigen el fenómeno.
 
Aquí expongo 2 casos de funciones lineales y otras 2 que no lo son:

                  

Para definir la linealidad de una ecuación diferencial nos basamos en lo anterior. En una ec. diferencial podemos despejar todo a un lado e igualar a cero. Si la función incógnita es z(de que dependa nos da igual) entonces la ecuación diferencial(donde salen z junto a sus derivadas) queda como f(z)=0.
Si ahora planteamos dicha ecuación por la suma de funciones z+w la linealidad se da(con k,t números cualesquiera) si:

                       

De esta manera se produce la división entre ED lineales y ED no lineales. Ambos tipos pueden ser EDO's o EDP's.

-Clasificación atendiendo al orden:

Otra clasificación al margen se hace según el orden de la ecuación. El orden de la ecuación es el orden de la derivada de mayor orden que hay en la ecuación. Pueden ser de primer orden(sólo primera derivada), segundo orden(hay derivada segunda), de orden 3...

Ahora me centraré en las EDO's. Dentro de ellas hay muchos tipos de ecuaciones no lineales que no comentaré. Me centraré en las EDO's lineales. En general tienen esta forma para orden n:


Donde n es el orden de la ecuación, no un exponente. Si b=0 la ecuación se dice que además es homogénea. Si todos los coeficientes son constantes(no dependen de x) se tiene una EDO lineal de coeficientes constantes. Estas ecuaciones en particular tienen un gran interés en muchos campos y aparecen en bastantes situaciones.
Su resolución será objeto de una próxima entrada.

Exponencial compleja y Trigonometría

Tras bastante tiempo sin actividad he decidido publicar una entrada acerca de algo que puede venir bien a aquellos que se han iniciado en el estudio de números complejos. Trata sobre una relación que hay entre la función exponencial y la trigonometría.

Para ello me basaré en un teorema que supondré conocido pero expondré brevemente. Se le conoce como el Teorema de Taylor. Dicho teorema puede demostrarse usando el teorema de Rolle(ver en Wikipedia). Aquí expongo su versión para funciones escalares de una variable.

Consiste en que podemos aproximar una función por una suma infinita de términos relacionados con las derivadas de esa función. La aproximación se hace en un punto escogido (x = a) y va siendo mejor según nos acercamos más al punto a. El primer término se dice que es de orden cero, el siguiente orden 1 y así sucesivamente.
La descomposición general es la siguiente hecha en el punto a y para el valor x, que puede ser cualquier otro valor:

   


Podemos observar que para poder hacer este desarrollo la función debe ser n veces derivable y que hay infinitos términos. Los términos que faltan pueden agruparse en uno que depende de la derivada n+1 pero eso ahora no nos importa.

Podemos aplicar este desarrollo a las funciones seno y coseno en a=0. Si cogemos los infinitos términos este desarrollo será exacto:
           
    
Ahora planteamos el desarrollo de la función exponencial en a=0:

                     
 
Si el exponente es imaginario puro entonces queda lo siguiente(aquí supongo que el lector conoce al menos la forma binómica de un número complejo):

                          

Agrupando los términos con la i(que incluyen las potencias impares) por un lado y los que no llevan i porel otro nos queda lo siguiente relacionando con los desarrollos anteriores:

       
      
El último resultado nos indica que la exponencial de un número imaginario es un número complejo de módulo unidad y de argumento x. Es decir, esta exponencial es una forma de número complejo equivalente a la forma módulo-argumento. En general el número complejo en las 2 formas sería:

                 

Ahora que tenemos esta forma podemos hacer el camino inverso y definir las funciones trigonométricas en función de dichas exponenciales considerando la exponencial de ix y de -ix:

                         

De manera análoga usando exponenciales reales se definen las funciones hiperbólicas, el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico, que tienen algunas propiedades parecidas a las funciones trigonométricas pero otras muy distintas como por ejemplo no estar acotadas:

                  

Usando estos resultados podemos definir por ejemplo el seno y coseno de un número complejo. Algo que en principio parecía no tener sentido. Queda propuesto para el lector la deducción de las siguientes relaciones:

    

Estas funciones ya no tienen por que estar acotadas entre -1 y 1.