Exponencial compleja y Trigonometría

Tras bastante tiempo sin actividad he decidido publicar una entrada acerca de algo que puede venir bien a aquellos que se han iniciado en el estudio de números complejos. Trata sobre una relación que hay entre la función exponencial y la trigonometría.

Para ello me basaré en un teorema que supondré conocido pero expondré brevemente. Se le conoce como el Teorema de Taylor. Dicho teorema puede demostrarse usando el teorema de Rolle(ver en Wikipedia). Aquí expongo su versión para funciones escalares de una variable.

Consiste en que podemos aproximar una función por una suma infinita de términos relacionados con las derivadas de esa función. La aproximación se hace en un punto escogido (x = a) y va siendo mejor según nos acercamos más al punto a. El primer término se dice que es de orden cero, el siguiente orden 1 y así sucesivamente.
La descomposición general es la siguiente hecha en el punto a y para el valor x, que puede ser cualquier otro valor:

   


Podemos observar que para poder hacer este desarrollo la función debe ser n veces derivable y que hay infinitos términos. Los términos que faltan pueden agruparse en uno que depende de la derivada n+1 pero eso ahora no nos importa.

Podemos aplicar este desarrollo a las funciones seno y coseno en a=0. Si cogemos los infinitos términos este desarrollo será exacto:
           
    
Ahora planteamos el desarrollo de la función exponencial en a=0:

                     
 
Si el exponente es imaginario puro entonces queda lo siguiente(aquí supongo que el lector conoce al menos la forma binómica de un número complejo):

                          

Agrupando los términos con la i(que incluyen las potencias impares) por un lado y los que no llevan i porel otro nos queda lo siguiente relacionando con los desarrollos anteriores:

       
      
El último resultado nos indica que la exponencial de un número imaginario es un número complejo de módulo unidad y de argumento x. Es decir, esta exponencial es una forma de número complejo equivalente a la forma módulo-argumento. En general el número complejo en las 2 formas sería:

                 

Ahora que tenemos esta forma podemos hacer el camino inverso y definir las funciones trigonométricas en función de dichas exponenciales considerando la exponencial de ix y de -ix:

                         

De manera análoga usando exponenciales reales se definen las funciones hiperbólicas, el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico, que tienen algunas propiedades parecidas a las funciones trigonométricas pero otras muy distintas como por ejemplo no estar acotadas:

                  

Usando estos resultados podemos definir por ejemplo el seno y coseno de un número complejo. Algo que en principio parecía no tener sentido. Queda propuesto para el lector la deducción de las siguientes relaciones:

    

Estas funciones ya no tienen por que estar acotadas entre -1 y 1.