En dichas ecuaciones aparece la función y sus derivadas con diversos órdenes(derivada primera, segunda...) por lo que despejar no es trivial y muchas veces requiere hacer integrales.
Puede que no tengan solución, que haya sólo una solución, que haya varias o que haya infinitas.
En los siguientes ejemplos puede verse(llamamos f(x)=y(x)):
En el primer caso no hay solución debido a la raíz negativa. En el segundo caso sale una raíz negativa sólo válida si y(x)=0 luego esta es la única solución. En el tercer caso hay que integrar para los 2 casos de la raíz y nos salen y(x)=-x+c, y(x)=x+c. Como c puede tomar cualquier valor la solución está formada por 2 familias de rectas con pendientes 1 y -1.
Estos casos son de lo más sencillo, los hay mucho más complicados. Me centraré más en la clasificación que en las formas de resolución aunque tampoco entraré demasiado en los tipos.
- Clasificación atendiendo a las variables:
En primer lugar hay que diferenciar si la función incógnita de las ecuaciones depende de 1 o más variables. Si depende de 1 variable, f(x) o y(x), se llaman Ecuaciones Diferenciales Ordinarias(EDO's). Si depende de más de 1 variable, f(x,y) o f(x,y,t,z...) como por ejemplo el caso de la temperatura en una región(que depende de las 3 variables xyz del espacio y del tiempo t) las ecuaciones contienen derivadas parciales y se se denominan Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales(EDP's).
-Clasificación atendiendo a la linealidad:
Otra clasificación al margen de la anterior se realiza atendiendo a si las ecuaciones diferenciales son lineales o no. Una función es lineal si cumple lo siguiente:
Donde x1 y x2 son valores de la variable independiente, x.
k y t son números que multiplican a los valores de la variable independiente. Si la función es de varias variables debe ser lineal en todas ellas para ser lineal. Sería lo anterior con x1 y x2 como vectores con varias componentes. El significado de la linealidad es que la variable dependiente, f(x), es proporcional a la independiente, x(Si una se multiplica la otra también) y que al sumar en la variable independiente podemos sumar en la dependiente. La suma de las causas se puede poner como suma de los efectos de cada causa por separado. Esto es lo que se llama principo de superposición y se debe a la linealidad de las ecuaciones diferenciales que rigen el fenómeno.
Aquí expongo 2 casos de funciones lineales y otras 2 que no lo son:
Para definir la linealidad de una ecuación diferencial nos basamos en lo anterior. En una ec. diferencial podemos despejar todo a un lado e igualar a cero. Si la función incógnita es z(de que dependa nos da igual) entonces la ecuación diferencial(donde salen z junto a sus derivadas) queda como f(z)=0.
Si ahora planteamos dicha ecuación por la suma de funciones z+w la linealidad se da(con k,t números cualesquiera) si:
De esta manera se produce la división entre ED lineales y ED no lineales. Ambos tipos pueden ser EDO's o EDP's.
-Clasificación atendiendo al orden:
Otra clasificación al margen se hace según el orden de la ecuación. El orden de la ecuación es el orden de la derivada de mayor orden que hay en la ecuación. Pueden ser de primer orden(sólo primera derivada), segundo orden(hay derivada segunda), de orden 3...
Ahora me centraré en las EDO's. Dentro de ellas hay muchos tipos de ecuaciones no lineales que no comentaré. Me centraré en las EDO's lineales. En general tienen esta forma para orden n:
Donde n es el orden de la ecuación, no un exponente. Si b=0 la ecuación se dice que además es homogénea. Si todos los coeficientes son constantes(no dependen de x) se tiene una EDO lineal de coeficientes constantes. Estas ecuaciones en particular tienen un gran interés en muchos campos y aparecen en bastantes situaciones.
Su resolución será objeto de una próxima entrada.
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