Debido a la linealidad de la ecuación, la solución general es la solución de la ecuación homogénea más una particular que dependerá de la función b(x) que ocupe el lugar de 0. Por esta razón primero se entra en resolver la ecuación homogénea:
Para ello veremos que la ecuación es equivalente a un sistema de EDO's lineales de primer orden acopladas:
En forma matricial:
La matriz de la aplicación lineal puede intentar diagonalizarse buscando los autovalores y autovectores. Para ello resolvemos el determinante y el polinomio característico. Si uno calcula el determinante verá que el polinomio es el siguiente:
Si los autovectores correspondientes a los autovalores tienen la dimensión del espacio total la matriz será diagonalizable. Eso ocurre si todos los autovalores son distintos. En caso contrario si uno calcula el subespacio propio de un autovalor de multiplicidad mayor que 1 verá que es de dimensión 1 y que por tanto el número de autovectores no es la dimensión del espacio total. El caso general en lugar de ser una matriz diagonal sería una matriz de Jordan buscando la base apropiada:
Si reescribimos el sistema en esa nueva base, la matriz de la aplicación es una matriz de Jordan y aparecerán nuevas incógnitas(v) que son combinación lineal de las iniciales(z) mediante la matriz de cambio de base:
Los autovalores de multiplicidad 1 dan ecuaciones de primer orden desacopladas que pueden resolverse integrando directamente. Los de multiplicidad mayor que 1 dan una ecuación desacoplada que puede resolverse pero otras acopladas que dependen de la solución anterior quedando ecuaciones de primer orden inhomogéneas. Vamos a ver por ejemplo los casos de multiplicidad 1 y 2. Si es 1 se tiene la ecuación siguiente que se puede integrar:
Si es 2 queda una ecuación inhomogénea que se resolvería planteando como solución particular una constante que depende de x, f(x):
Para multiplicidad m tendríamos m soluciones donde la x que multiplica en las soluciones tendría grado de 0 a m-1.
Gracias a la matriz de paso entre las bases de inicio(z) y la final(v) podemos escribir los z iniciales en función de las soluciones(v) como una combinación lineal. Así se obtiene y(x), que era la primera incógnita de las z:
Vemos que hemos encontrado la forma de resolver la ecuación. La receta es tan simple como plantear el polinomio característico(similar a la ecuación pero sustituyendo derivadas de orden i por la lambda de grado i) encontrando los lambda soluciones(autovalores) y escribir la solución como exponenciales acompañadas de constantes.
Si algún autovalor se repite m veces hay que poner la exponencial, luego la misma multiplicada por x, otra por x cuadrado, otra por x cubo...hasta m-1.
Ante cualquier duda en el procedimiento efectuado pueden escribir sus comentarios.
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