EDO lineal: Circuito RLC serie en corriente continua(3ª parte)

Tras resolver en las partes anteriores el problema matemático del circuito se explicará el significado de las soluciones que se obtienen en los 3 casos. Alguien puede verse tentado a pensar que estas soluciones son absurdas porque al haber un condensador la corriente que circula por el circuito debería ser nula ya que el condensador es básicamente un circuito abierto.
En parte tendría razón ya que si mide la corriente con un amperímetro verá que es nula.
Lo que ocurre es que durante un tiempo, generalmente muy corto, hay corriente hasta que se carga el condensador. Podría decirse que es el tiempo en el cual la diferencia de potencial entre extremos de la pila pasa a transmitirse entre los extremos del condensador(sus placas). En el dieléctrico intermedio del condensador en ningún momento hay corriente aunque haya en el cable.

La resistencia y la bobina modifican el tiempo y la manera de cargarse de dicho condensador. La bobina responde al cambio de corriente inicial con una inercia dada por la ley de Faraday-Lenz.
Para ver que las 3 soluciones tienen sentido podemos calcular el límite de la intensidad cuando el tiempo tiende a infinito y se verá que es cero(debido a la exponencial negativa). Eso se deja propuesto como ejercicio de límites.
Para que se dé cualquiera de los 3 casos hay que usar una combinación de valores de resistencia, autoinducción y capacidad adecuados:

La solución subamortiguada se da si gamma es menor que omega. 
El sistema en este caso oscila(debido al seno) pero por la amortiguación esas oscilaciones van siendo cada vez menores(la exponencial negativa). Lo que ocurre es que el condensador aunque se cargue, está la bobina que por inercia produce una corriente habiendo ciclos de oscilaciones de corriente debidas a ambos componentes. Como hay resistencia en el circuito esas oscilaciones se van atenuando hasta que el condensador termina de cargarse.
Sería el equivalente a un péndulo en un líquido viscoso que lo frena pero que oscila algunas veces antes de pararse.
En esta gráfica vemos la variación de la intensidad del caso subamortiguado para unos valores concretos.



La solución de amortiguamiento crítico se da si gamma=omega.
Este es el caso intermedio en el cual desaparecen las oscilaciones. Es el caso en el cual se alcanza más rápido la situación estacionaria de corriente nula. Sería el caso del péndulo en un líquido viscoso cuando el péndulo se frena antes de oscilar pero se frena justo en la posición de equilibrio por lo que el tiempo en
llegar a la posición de equilibrio sin oscilar es el tiempo mínimo.
En la gráfica se ve que decae muy rápido.



La solución sobreamortiguada se da si gamma>omega.
Cuando gamma es mayor puede ser porque la resistencia es bastante grande. Es decir, la amortiguación es enorme y no hay cabida para oscilaciones. En este caso la intensidad se reduce a cero rápidamente.
En el símil del péndulo es el caso en el cual el péndulo se frena demasiado y llega a la posición de equilibrio sin oscilar tardando más que en el caso crítico.
En la gráfica puede verse como se reduce la intensidad aunque no tan rápido como en el caso crítico.



Ahora comparamos las 3 gráficas(en las que sólo varía la resistencia). La de amortiguamiento crítico sube algo más pero se ve que decae más rápido:



Por poner ejemplos, un cristal de cuarzo que oscila o una guitarra son sistemas subamortiguados. Los amortiguadores de un coche son en cambio sistemas con amortiguamiento crítico o sobreamortiguados(ambos amortiguan pero lo ideal sería el crítico porque amortigua más rápido).

A todos estos sistemas se los llama sistemas de segundo orden. Son muy útiles dado que muchas situaciones reales se aproximan muy bien a estos sistemas cuando están cerca de la situación de equilibrio. Una razón es que el término de primer orden del desarrollo de Taylor en potenciales se anula en máximos y mínimos(puntos de equilibrio). Cerca de esos puntos el término es casi nulo. Esto deja al de segundo orden
como el término importante salvo constantes.

Ante cualquier duda pueden comentar al respecto. 

Final Fantasy VII Hardcore (PSX o PC) resubido

Tras unos 5 años todavía hay fans que quieren disfrutar del modo difícil que hice de FFVII(ver aquí). Por esta razón y debido al cierre de megaupload he resubido el juego en mega. Como dije hace años, el cambio sustancial radica en la mayor dificultad de las batallas principales y la experiencia recibida, manteniendo intacta la esencia argumental y otros detalles como el apartado gráfico y sonoro.

Puede jugarse en una PSX incluso usando las partidas guardadas del juego original o en un emulador. Según un tutorial que expuse hace tiempo también puede jugarse en la versión de PC. Si alguien tiene interés puedo explicar la manera de hacerlo.

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EDO lineal: Circuito RLC serie en corriente continua(2ª parte)

En este segundo apartado(el primero era aquí) se explicará otro procedimiento para resolver la EDO que puede utilizar un lector poco familiarizado con el cálculo diferencial y el integral. Es el método de la transformada de Laplace unilateral.
Para empezar definiré dicha transformación:



No hay porque resolver la integral para cada caso ya que las transformadas de Laplace de la mayoría de funciones vienen tabuladas en libros y en la wikipedia.
Lo que se hace es una especie de cambio de variable. Cambiamos el tiempo por una frecuencia(que es un número complejo en general) que llamaremos s. La transformada de la intensidad será F(s). La transformada de las derivadas sucesivas de la intensidad está tabulada o se puede deducir integrando por partes.



Como puede verse, al hacer la transformada de las derivadas aparecen las condiciones iniciales que debemos sustituir al transformar la ecuación entera.



La ecuación(que estaba en el dominio del tiempo) en el dominio de la frecuencia s queda como:



Esta ecuación es algebraica y sencilla de resolver. Basta despejar F(s).



Esta ecuación tiene un significado muy importante. Si la tensión constante de la fuente la sustituimos por una señal de entrada cualquiera, V(s), en la ecuación inicial y la intensidad fuese la señal de salida tendríamos un caso general.
El cociente entre la salida y la entrada se llama función de transferencia, H(s), y nos da la salida en función de la entrada para todas las frecuencias que forman la señal de entrada. El circuito visto así es una especie de amplificador de transconductancia. Aquí se muestra la función de transferencia de la entrada general.



Si lo que tuviesemos es un oscilador armónico que sufre amortiguación, la función de transferencia sería del mismo tipo siendo la entrada la fuerza que produce la oscilación y la salida el alargamiento. Ambas en dominio de la frecuencia claro está. Si representamos la función de transferencia en función del logaritmo de la frecuencia tenemos lo que se llama diagramas de Bode. Esta representación nos muestra la respuesta en frecuencia de un sistema. Por ejemplo, un buen amplificador muchas veces debe de amplificar por igual todas las frecuencias que recibe juntas para evitar distorsiones. Con el diagrama de Bode vemos para que frecuencias nos sería útil dicho amplificador.

Ahora hay que volver al dominio del tiempo haciendo la transformada inversa. Esta transformada inversa depende de si las raíces del denominador(polos) son reales, complejas o coinciden. Volvemos a tener los 3 casos de antes. Las transformadas inversas que hay que hacer son estas donde u es la función de Heaviside(función del Jebi para los amigos xD) que es 0 a tiempos menores que cero y es 1 si el tiempo es mayor que cero:



Haciendo las cuentas(que las recomiendo para los que se han iniciado hace poco) se obtienen estas soluciones que coinciden con la otra manera de resolverlo. Son respectivamente para el caso subamortiguado, sobreamortiguado y amortiguamiento crítico(gamma y omega son los de la primera parte).



Ante cualquier duda o error se agradece el interés.

Expuesto este método de resolución queda ver el significado físico de los 3 casos posibles de soluciones. Será objeto de una tercera parte.

EDO lineal: Circuito RLC serie en corriente continua(1ª parte)

En esta entrada se muestra un ejemplo de resolución de una EDO lineal de coef. constantes. Normalmente aquí el ejemplo clásico suele ser resolver la segunda ley de Newton pero he preferido citar un ejemplo un poco menos típico pero también muy usual: La resolución de la ley de mallas de Kirchhoff.
Esta ley la aplicamos en un circuito RLC serie de corriente continua que contiene elementos pasivos: una resistencia, una autoinducción y un condensador. La fuente será una tensión constante.



La suma algebraica de tensiones ha de ser nula.
Para hacer el balance energético o de tensiones se emplea la ley de Ohm, la ley de Faraday y la relación de carga y tensión de los conductores(condensador).
El condensador, la bobina y la resistencia se oponen a la fuente como puede verse en los signos del dibujo
por lo que en el balance llevarán signo opuesto a la fuente. Si lo ponemos todo en función de la intensidad queda:



Podemos derivar esta ecuación y nos queda la EDO lineal que se va a resolver:



Calculamos las raíces del polinomio característico. Por comodidad usamos gamma y omega. Omega hace referencia a la frecuencia de ciertas oscilaciones y gamma hace referencia a la amortiguación de dichas oscilaciones.



La solución general por tanto será:



Debemos imponer 2 condiciones iniciales lógicas para calcular las constantes A y B.
La primera que la corriente es nula a tiempo nulo I(0)=0. La segunda puede ser cualquiera de estas 2, que son equivalentes:
a) Que a tiempo infinito la tensión de la fuente es la caída de tensión en el condensador.

b) que a tiempo nulo la tensión de la fuente es la caída en la bobina.



La solución también será muy distinta de si esa raíz es un imaginaria, cero o mayor que cero.
Así que tenemos 3 casos posibles de soluciones.

1) Raíz imaginaria. Caso subamortiguado.
La solución sería de la siguiente forma si aplicamos las condiciones iniciales:



Podemos ver amortiguaciones(dadas por el seno) de una frecuencia cercana a omega y que se atenúan con el factor de la exponencial negativa.

2) Raíz nula(gamma=omega) Amortiguamiento crítico:




En este caso no hay amortiguaciones.

3) Raíz positiva(gamma>omega) Caso sobreamortiguado:



En este último caso tampoco hay oscilaciones sino una caída exponencial menos acusada con el seno hiperbólico.

Dejo propuestos los pasos matemáticos intermedios para el lector.
Ante cualquier duda o error pueden dejar su mensaje.

EDO's lineales de coeficientes constantes

En esta entrada se buscará la manera de resolver las EDO's lineales de coeficientes constantes, las cuales son de gran importancia en campos como la ciencia, la ingeniería, la economía...

Debido a la linealidad de la ecuación, la solución general es la solución de la ecuación homogénea más una particular que dependerá de la función b(x) que ocupe el lugar de 0. Por esta razón primero se entra en resolver la ecuación homogénea:



Para ello veremos que la ecuación es equivalente a un sistema de EDO's lineales de primer orden acopladas:



En forma matricial:



La matriz de la aplicación lineal puede intentar diagonalizarse buscando los autovalores y autovectores. Para ello resolvemos el determinante y el polinomio característico. Si uno calcula el determinante verá que el polinomio es el siguiente:



Si los autovectores correspondientes a los autovalores tienen la dimensión del espacio total la matriz será diagonalizable. Eso ocurre si todos los autovalores son distintos. En caso contrario si uno calcula el subespacio propio de un autovalor de multiplicidad mayor que 1 verá que es de dimensión 1 y que por tanto el número de autovectores no es la dimensión del espacio total. El caso general en lugar de ser una matriz diagonal sería una matriz de Jordan buscando la base apropiada:



Si reescribimos el sistema en esa nueva base, la matriz de la aplicación es una matriz de Jordan y aparecerán nuevas incógnitas(v) que son combinación lineal de las iniciales(z) mediante la matriz de cambio de base:



Los autovalores de multiplicidad 1 dan ecuaciones de primer orden desacopladas que pueden resolverse integrando directamente. Los de multiplicidad mayor que 1 dan una ecuación desacoplada que puede resolverse pero otras acopladas que dependen de la solución anterior quedando ecuaciones de primer orden inhomogéneas. Vamos a ver por ejemplo los casos de multiplicidad 1 y 2. Si es 1 se tiene la ecuación siguiente que se puede integrar:



Si es 2 queda una ecuación inhomogénea que se resolvería planteando como solución particular una constante que depende de x, f(x):



Para multiplicidad m tendríamos m soluciones donde la x que multiplica en las soluciones tendría grado de 0 a m-1.

Gracias a la matriz de paso entre las bases de inicio(z) y la final(v) podemos escribir los z iniciales en función de las soluciones(v) como una combinación lineal. Así se obtiene y(x), que era la primera incógnita de las z:



Vemos que hemos encontrado la forma de resolver la ecuación. La receta es tan simple como plantear el polinomio característico(similar a la ecuación pero sustituyendo derivadas de orden i por la lambda de grado i) encontrando los lambda soluciones(autovalores) y escribir la solución como exponenciales acompañadas de constantes.
Si algún autovalor se repite m veces hay que poner la exponencial, luego la misma multiplicada por x, otra por x cuadrado, otra por x cubo...hasta m-1.

Ante cualquier duda en el procedimiento efectuado pueden escribir sus comentarios.